染色法是常用的判断二分图的方法，时间复杂度为 $\operatorname O(n + m)$。
中心思想
二分图实际上可以分为两边，如下图：
![[Pasted image 20250811172215.png|204]]
一个二分图内的点可以分为两类，即左边和右边。
染色法的中心思想为通过给图染色，使每个点与他相连的点的颜色都不相同，形成这两类，从而判断这个图是否为二分图。
在时间操作上，先从一个未染色的点开始，把相连的点不断染成和当前点相反的颜色，并不断扩展至整个图。在这个过程中，如果有一个点的染色和相邻的点一样，即染色冲突，则说明此图不能成为二分图。
而每个点的染色（白和黑），即代表了二分图后他在哪一边。（一般不用）
正确性
正确性显而易见。
一个点只能染成一种颜色 如果一个点既需要被染成白色，又需要染成黑色，则说明这个图在染色时存在冲突，，那么就无法形成二分图。
代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 100010, M = N * 2;
int n, m;
int h[N], ne[M], e[M], idx;
int color[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
bool dfs(int u, int c) // 染色过程,成功返回 true，失败返回 false
{
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!color[j]) // 如果没染色，则染色
{
if (!dfs(j, 3 - c)) return false; // 如果染色失败，则说明不能二分图
}
else if (color[j] == color[u]) return false; // 如果已经染色，而这个点不是相反颜色
// 则说明染色冲突，无法形成二分图
}
return true;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
memset(h, -1, sizeof h);
while (m -- )
{
int a, b;
cin >> a >> b;
add(a, b);
add(b, a);
}
bool flag = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) // 对每一个连通块都进行染色
{
if (!color[i])
{
if (!dfs(i, 1))
{
flag = false;
break;
}
}
}
if (flag) puts("Yes");
else puts("No");
return 0;
}